一条曲线是否能穿过高维空间中给定数目的点，这是数学领域最核心的研究对象之一——插值问题。如今，一对年轻的数学家夫妇精巧地解决了这个古老的世纪难题。
在这篇节选自《环球科学》1月刊的文章中，你可以看到这对夫妻在破解难题时，惊人的毅力。
撰文｜约尔达娜·塞佩莱维奇（Jordana Cepelewicz）
翻译｜陈亦飞
你可以画一条直线同时穿过平面上任意给定的两个点，这是上千年来我们所熟知的一个基本的几何学事实。如果想穿过更多个点，就没有那么容易了，因为一条直线不太可能同时穿过所有给定的点。但你可以画一个圆穿过任何给定的三个点，或者画一条圆锥曲线（椭圆、抛物线或双曲线）穿过任何给定的五个点。
推广到更一般的情况，数学家想知道如何能画一条曲线，使它可以穿过任意维数空间中的任意给定多个点。这是一个关于代数曲线的基本问题——插值问题，它是数学领域最核心的研究对象之一。美国斯坦福大学的数学家拉维·瓦基勒（Ravi Vakil）说：“这个问题实际上是为了理解曲线是什么。”
然而，尽管数学家已经用最先进的工具研究了数百年，但高维空间中的曲线仍像是一头棘手的怪兽，难以攻克。在二维空间中，一条代数曲线可以只用一个方程来定义，比如一条直线可以被写成y = 3x - 7，而一个圆可以被写成x² + y² = 1。但在三维或更高维空间中，曲线变得极其复杂，它通常由非常多的变量和方程定义，以至于我们根本无法完全理解它的几何特性。也因此，我们很难掌握曲线最基本的属性，甚至包括看似简单的概念——它是否能穿过空间中一些给定点的集合。
在今年年初发表在预印本网站上的一篇文章中，美国布朗大学两位年轻的数学家埃里克·拉森（Eric Larson）和伊莎贝尔·沃格特（Isabel Vogt）对插值问题完成了最后一击，完整且系统地解决了这个问题。这篇论文标志着他们近十年工作的顶峰，十年间，他们逐步解决了这个问题，同时解决了关于曲线的形状以及行为等重要的问题——并且他们还结婚了。
嵌入空间的曲线
事实上，插值问题的解决建立在此前的一项工作上，它可以追溯到 19 世纪。当时这项工作回答了一个更基本的问题：到底有哪些代数曲线？
曲线是位于高维空间中的一维对象。虽然通常数学家并不清楚如何用特定的方程来定义曲线，但他们可以根据某些数值属性来描述它们。第一个属性是曲线所在空间的维数。而第二个则是曲线的次数（degree），即曲线与超平面相交的点的个数，其中超平面是指比曲线所在空间维数小1的线性子空间。例如，二维平面中圆的次数为2，因为当它与一维的直线相交时，直线通常会与圆相交于两个点。那么20维空间中曲线的次数就是它与19维超平面相交的点的个数。本质上，次数可以理解为度量曲线扭曲程度的一个数值属性。
数学家描述曲线的第三个量为亏格（genus），也就是它有多少个孔洞。由于曲线是用复数定义的一维对象，因此曲线上的每个点也可以写成一对实数，而不是一个复数。这意味着，从拓扑学的角度来看，曲线实际上看起来像一个二维曲面——而该曲面是可以有孔洞的。比如一个典型的例子就是甜甜圈的表面，它的亏格很明显是1。
在数学家考虑给定亏格和次数的曲线可能是什么样子之前，他们首先需要弄清楚这样的曲线究竟是否存在。而即使是如此基础的问题，其实也是一个巨大的挑战。
在19世纪70 年代，数学家亚历山大·冯·布里尔（Alexander von Brill）和马克斯·诺特[Max Noether，著名数学家埃米·诺特（Emmy Noether）的父亲]基于曲线的这三个变量——亏格（g），即曲线具有的孔数；次数（d），也就是曲线的扭曲度；以及曲线所在空间的维数（r）——推测出，给定亏格的曲线能被嵌入到给定维数的空间中，当且仅当该曲线的次数足够大，也就是说曲线需要足够柔软。他们用g、d和r写出了一个精确的不等式，并论证了只有当这个不等式成立时，曲线才有可能嵌入到指定维数的空间中。
但在当时，他们的论证还不能成为严格的证明。直到一个多世纪后的1980年，菲利普·格里菲思（Phillip Griffiths）和乔·哈里斯（Joe Harris）使用代数几何中的现代技术证明了布里尔-诺特定理（Brill-Noether theorem）确实是正确的。（从那时起，数学家陆续对该定理提出了大约6种不同的证明，并围绕它发展出了丰富的理论。）
制图：Merrill Sherman
这项研究结果使得数学家转头研究插值问题成为了可能，也就是去计算 r维空间中一条亏格为 g和次数为 d的曲线可能穿过多少个随机给定的点。在插值问题中，曲线通常被描述为“一般的”，这意味着它并不是以一种特殊的方式嵌入在空间中。基于布里尔和诺特的工作，数学家对这个问题的答案应该是怎样的形式有了一个合理的猜测。与布里尔-诺特定理一致，它将以曲线参数需要满足的特定不等式的形式出现，但这次的形式不仅依赖于变量 g、d和r，还依赖于给定点的个数 n。
但与布里尔-诺特定理不同的是，这条规则有明显例外的情形需要考虑，因为曲线的几何形状会限制原本它预期能穿过的点数。“这其实已经表明这是一个困难且深刻的定理，它需要大量的工作，”佩恩说道。
而这也是拉森和沃格特感兴趣的问题。2011年，他们在美国哈佛大学相遇，当时哈里斯是他们本科课程的教授之一，而他们研究插值问题的部分灵感正是源自哈里斯。后来，他们去了美国麻省理工学院读博，哈里斯成为拉森的博士生导师以及沃格特的联合博士生导师。从这时起，他们开始认真地研究插值问题。
解决问题
拉森在研究代数几何中另一个主要问题——最大秩猜想（maximal rank conjecture）时，开始考虑起插值问题。对一名博士生而言，将目光投向这个一个多世纪以来悬而未决的猜想，似乎是“一个非常愚蠢的想法，因为它就像一个坟墓，”瓦基勒说。“他试图追逐的是比他年长很多的数学家长期努力攻克却还是失败了的问题。”
但是拉森坚持下来了，他在 2017 年给出了一个完整的证明，这使他成为代数几何领域里一颗冉冉升起的新星。
事实上，证明最大秩猜想的关键也适用于解决插值问题的各种情况。因为在拉森解决最大秩猜想（也是关于代数曲线）的方法中，很大一部分是将感兴趣的曲线拆分为多条曲线，研究它们的性质，然后再以正确的方式将它们粘合复原。而为了将这些更简单的曲线粘合在一起，他必须使它们中的每一条都穿过同一组点——这其实就是在证明一个插值问题。拉森说道，“插值提供了构建这些更复杂曲线的机器。”
沃格特早已在研究插值问题。在她博士生期间写的第一篇论文中，她证明了三维空间中所有的插值情形（也包括所有例外的情形）；次年，她又与拉森合作解决了四维空间的插值问题。此后，这对年轻人也一同合作研究了其他的课题，“这是我们一起合作的开始。”沃格特说道。在拉森发布最大秩猜想证明的这一年，他们结婚了。从那以后，他们经常会在晚餐后一起讨论各自的想法，用家里的黑板解决问题。
伊莎贝尔·沃格特（Isabel Vogt）是美国布朗大学的一位数学家，从事代数几何与数论的交叉领域的研究工作。她主要关注代数曲线的几何学。图片来源：Padmavathi Srinivasan
插值问题探究的是，某种类型的曲线能否穿过一个给定的随机点的集合。为了证明这一点，两位数学家必须证明曲线能够以特定的方式在空间中扭动。例如，考虑一条直线上的三个点。如果将其中一个点移动到稍微偏离直线的位置，但保持其他两个点位置不变，那么无论怎样移动直线都无法使它同时穿过处于新位置的三个点。强行试图让一条直线穿过这三个点，将迫使直线弯曲，导致它不再是直线。因此一条直线只能穿过两个点进行插值，无法穿过三个点。
两位数学家想以低维空间中简单曲线的情形类比，推广到高维空间中更为复杂的曲线上——挪动某些点，而后研究曲线该如何随之扭动或发生改变。
为此，他们需要研究一种名为曲线法丛的结构，这种结构本质上决定了曲线会如何扭动。这样，插值问题就可以重新表述为一个有关计算曲线法丛性质的问题。
但是对于拉森和沃格特所关注的更复杂的曲线，这样的研究变得异常困难。因此，他们使用了拉森证明最大秩猜想时用过的相似的策略：谨慎地将一条给定的曲线拆分成几条曲线。由此，“他们捕捉到这个问题，并以正确的方式将它们分解开来，这使他们能够确切地看到问题的本质，”瓦基勒说道。
举一个简单的例子，假设平面上有一条双曲线——看起来像一对相互背对的镜像弧线的单一曲线。你可以对这条曲线实施“形变”操作，直到它分裂成两条更简单的曲线。在这个示例中，双曲线可以转化为一对以X形相交的直线。通过这种操作，双曲线的某些几何特性仍然能从这些直线的几何特性中反映出来。但比起双曲线，直线要更简单且更容易研究，因此也更加容易去分析它们的法丛。
然而这种方式存在一个问题，我们不能简单地将对每条直线法丛的理解直接转化为对双曲线法丛的理解。这是因为某种意义上，两条直线相交点处的法丛表现并不好。因此，与直接转化相反，数学家必须研究经过特定修正后的法丛。
当然，拉森和沃格特关注的不仅仅是双曲线和直线对这样简单的情形，他们研究的情况错综复杂得多。首先，他们会将一条复杂的曲线分成两部分：一条直线和一条较为简单（事实上仍然很复杂）的曲线，使这条曲线与直线相交于一或两个点。然后他们会将分离开的复杂曲线再一分为二，之后一次又一次地重复这个过程，直到他们把整个曲线简化为一组真正简单的“基础”曲线，是“那种你可以直接徒手计算的曲线”，沃格特说道。在整个过程中，他们必须关注每条分裂出来的曲线的法丛——以及堆积起来的对那些法丛的所有修改——以证明他们需要证明的关于原始曲线的法丛。
但这些拆分曲线的方法还不够。因为它们不适用于布里尔-诺特定理所涵盖的所有类型的曲线。
拉森和沃格特不得不引入一种新的方法——不涉及拆分出一个部分是直线的方法——来拆分他们的曲线。想弄清楚这一点无疑是一个挑战，不仅是因为他们可能根本无法在论证的给定步骤中按照他们的计划进行操作，也是因为他们还必须关注插值条件不成立的例外情况。“你的论证必须足够复杂，因为你不能最终得到一个例外情形”来作为你的基本情形，沃格特说道：“那样就太糟糕了。”
最终，他们找到了一种方法来解决这一点。“这在技术上非常难以实现。这是一个非常、非常苛刻的构造性论证，”哈里斯说。“坦白来讲，我认为只有像拉森和沃格特这样具有非凡能力的人才能做到。”
与此同时，两位数学家还开发了如何处理在论证过程中堆积的修正法丛的方法。德国柏林洪堡大学的数学家加夫里尔·法尔卡斯（Gavril Farkas）说：“他们能够持续地跟踪所有这些数据，并最终完成目标，这真是一项了不起的壮举。”
“埃里克很擅长应对这种挑战，”沃格特说。经常与拉森和沃格特合作的美国伊利诺伊大学的数学家伊泽特·科斯昆（Izzet Coskun）对此表示赞同。“埃里克有点吓人，”他说道。“大多数人看到一组 12 个不等式就已经目光呆滞，决定放弃了……但他不会。对他来说，没有什么事情是过于复杂的。”
最终，拉森和沃格特证明，除去4种例外的情况外，曲线总能穿过预期的给定数目的点进行插值。他们也给出了为什么这4种类型的曲线能穿过特殊数目的点进行插值的几何学原因。这样，他们就一劳永逸地解决了这个问题。
“他们对插值问题的论证过程看起来非常自然。就像是丝毫不会令人惊讶一样，”美国肯塔基大学的数学家戴夫·詹森（Dave Jensen）表示。“这很奇怪，因为这是许多数学家尝试证明却始终没能做到的结果。”
“这纯粹是坚持的结果，但又不仅如此。事实上，能够攻克插值问题真是太棒了，”法尔卡斯说。“他们的证明非常值得一看。”
虽然这个证明可能标志着有关插值问题的一个叙事线索的终止，但从数学和个人的角度来看，有关代数曲线的故事还远没有结束。
关于曲线，还可以提出很多问题。拉森和沃格特的工作为掌握这些核心但难以捉摸的数学对象提供了一种方法。“我认为现在很多经典的问题都变得更容易理解，”科斯昆说。“有些我们过去认为甚至无从着手去研究的课题……现在是时候提出疑问了。”
本文作者 约尔达娜·塞佩莱维奇是《量子杂志》（Quanta Magazine）的资深作者，现居美国纽约。
本文译者 陈亦飞是中国科学院数学与系统科学研究院的副研究员，主要研究方向为代数几何和双有理几何。
本文节选自《环球科学》2023年1月刊中的《穿过终点的数学曲线》一文