还在说用绳子“拉”滑轮?原来我一直都错了…

本文所讲的问题,或许在很多人看来不是问题。但它却被多个物理爱好者反复质疑和讨论,所以还是有写一写的必要。

如下图,一根轻绳绕过轻质动滑轮,滑轮上吊着一个重物,当斜向上拉绳时,滑轮和重物被拉起来了。

图1. 动滑轮示意图

问题:既然绳只能提供沿自身方向的拉力,但滑轮却受到了向上的力,该如何解释这个力?

你可能认为很简单:把滑轮和重物的整体当作质点,按力的合成法则,这个力就是绳的拉力的合力嘛,其值为  ,方向竖直向上。

图2. 力的合成法则

但有很多人对此并不认同:绳明明是沿着切向拉的,滑轮怎么会获得向上的力呢?他们认为:拉力作用在绳上的,没有作用在滑轮上,但滑轮却莫名其妙地获得了一个向上的力,这是为什么呢?

仔细想想,这个问题的确不简单。

按力的合成来分析,虽然结论是对的,但并没有解释滑轮所受的向上的力是如何产生的。

毕竟,力的作用,必须要明确,受力、施力物体是什么?作用点在哪里?

很多人并没有想清楚,他们甚至想当然地认为:滑轮受到了向上的拉力!

但问题是,绳子又没有系在轮子上,它只是绕过滑轮,你说它在拉滑轮?但拉力不是只能沿着绳子的方向吗?

其实,绳子压根没有拉滑轮,实际上,它在压滑轮!

没错,起作用的是绳子对滑轮的压力!压得越厉害,拉得越有力。

是不是有点懵?没关系,继续往后看,你肯定会懂的。

由于绳子和滑轮都是轻质的,因此绳子的拉力大小处处相同,但方向是变化的,它总是沿着所在位置的切线方向,正是这种变化提供了对滑轮的各处的正压力。

如下图所示,绿色粗线代表绕在轮边缘上的绳子,现在取某个点  处的一段微元  来研究,如图中红色粗线所示,它对应的圆心角为  。

图3. 对绳的微元的受力分析

注意,微元  看起来比较长,这是为了看清楚而故意画长了的,其实它无限短,可看作  处的一个点。

现在对  作受力分析,如图3所示。

首先,它受两端的拉力,大小都为  ,方向分别沿  的端点的切向,与  的中点的切向的夹角都为  ;

另外,  还受到轮子给它的正压力  ,方向沿法向往外。

由于是轻绳,其所受法向合外力必为零,即 回想刚才说过的,  其实是一个点,故  无穷小,此时 故所受正压力  即为 根据牛顿第三定律,滑轮也受到来自  同样大小的正压力  ,方向沿法向往内,即将这个正压力除以  ,得绳对滑轮边缘单位长度的正压力,记作  ,即 这是一个定值,故绳对滑轮的正压力是均匀的,它总是等于绳拉力与轮半径的比值。

上面给出的  只是滑轮边任意点的受绳的正压力,其它任意点  也都如此,因此可记作 所有这些正压力沿竖直方向的分量  的总和,就是绳为滑轮提供的竖直方向的力  ,如下图中红色箭头所示。

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图4. 滑轮边缘各处的正压力的竖直分力

现在你明白了,动滑轮所受到向上的力  ,是由无数个这样的  积累而成的,它们对应无数个正压力  竖直分量。

将绕滑轮的绳看作对称的两半来算,得  为 

当  趋于零时,上式变为积分式 计算得  。

由于  与图1中的  互余,故结论与用力的合成法则得到的结果一致。     

到此,关于动滑轮是如何被绳子拉起来的问题,解释完毕。所得结论是:

动滑轮之所以被绳子"拉"起来,并非是拉力直接导致的,而是绳子在所有点的压力的竖直分力的合力造成的。

实际上,不光动滑轮如此,定滑轮,甚至任何被绳子缠绕的物体都是因为受到绳子的压力,才被绳子拉动的。

例如,对定滑轮来说,它受到绳的正压力也满足上述规律,读者可自行分析之。

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图5. 定滑轮的情形

很多人以为轻绳只能产生拉力,现在看到,轻绳还可以产生压力。

而既然绳子能产生压力,那么它当然还可以产生摩擦力!

因此,顺着本文所给的正压力的分析结果,你就可以直达摩擦力的规律。它的最终结论由著名数学家欧拉给出,是无数个“欧拉公式”中的一个。

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