一个让很多孩子困惑的问题
上数学课时，总有学生举手问：
老师，10除以3等于3.3333……无限循环，除不尽，可生活中，我们为什么可以把10米长的绳子平均分成三段呢？
这个问题背后有一个巨大的逻辑漏洞没有解决：数学世界和现实世界，怎么统合？
01
10÷3，是数学世界的"纯粹逻辑"
先回到数学本身。
10÷3 = 3.3333……无限循环，这是数学上的表达。
在数学世界里，数字是抽象的、绝对的、纯粹的。
3就是3，π就是π，不管你算到小数点后多少位，它都是它自己。
数学追求的是"逻辑上的精确"，而不是"现实中的可实现"。
所以，10÷3除不尽，不是问题，而是数学的特征、数学的逻辑——数学是由抽象概念和逻辑组成的。
02
10米的绳子，是现实世界的"近似模型"
再来看10米的绳子。
用尺子大致一量，长10米。
再精确一点呢？
绳子末端的毛边，算不算长度？
绳子有没有完全绷直？
有没有轻微弯曲？
如果我们要求更精确，上更厉害的测量工具，比如用激光测距仪量。
结果可能是10.023米，或者9.9987米……
再进一步：
如果你用显微镜观看，会发现，绳子的边界是模糊的；
绳子表面有无数微小的凸起，就像分形结构；
如果把这些细小的分形都算上，那绳子的长度就是无穷的……
糟糕，我们越来越量不清楚了——就像一条大河长6000km，然后你把河流的分形也算上……算不清楚。
❕ 该图片属于AI生成
你看，绳子本身不完美，它并不是一条逻辑上的线条，而是一团复杂的分子集合。
如果在现实世界中，我们用数学逻辑，那么我们没法生活了。
因此，现实世界中不存在"精确的10米"，只有"够用的10米"。
03
建模思维，数学和现实的"翻译器"
就如上面所说，大自然总存在分形：一棵大树，分成3个大树枝，每个大树枝再分成3个小树枝……无限分下去。
从数学角度看，如果无限细分下去……
有必要吗？
我们不需要深入到这个领域去测绳子，我们需要的是：找一个"够用"的模型。
买菜的时候，10斤就是10斤，甚至是10.5斤，10块钱3斤……
测量的时候，100米就是100米，很多时候我根本不需要精确到2位小数，一位就够了。
即便是做芯片的时候，精确到纳米也可以了……
不同的场景，用不同的模型。
这就是建模思维的核心。
数学家终其一生的努力，就是为了找到更多的数学模型，来适应不同的现实、不同的计算需求。
10÷3除不尽，是数学问题；绳子可以三等分，是现实问题。
两者在各自的体系里都是成立的。
❕ 该图片属于AI生成
04
回到问题：绳子为什么能三等分？
简单来说： 绳子能分成三等份，不是因为数学允许，不是数学上可以发生，而是因为我们需要给它三等分。
现实中，"三等分"从来不是"精确的10÷3"，而是"足够接近10÷3的现实操作"。
我们用的工具是剪刀，而不是计算器。
剪刀切下去的那一刻，"三等分"就完成了——它可能不是数学上的精确3.3333……米，但它是现实中"够用"的3.3333……米。
写在最后
数学不是僵化的公式，而是理解世界的工具、指导世界的工具。
但数学是正确，是逻辑，它反映现实，而现实又不能完全按照它来。
10÷3除不尽，是数学世界的逻辑和规则；
绳子能三等分，说明现实世界有够用的模型。
所谓数学思维，是用数学思考生活，但又要考虑具体现实——正所谓数学建模。