各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关正方形的证明题，涉及圆的知识，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB=AD，CB=CD，延长AB、DC交于E，∠AED的平分线交BC于P，交AD于K，延长AD、BC交于F，∠BFA的平分线交CD于H，交AB于G．求证：四边形GPHK是正方形．
正方形知识回顾
正方形的定义：正方形是特殊的平行四边形之一，即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形。
正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形. 有一个角为直角的菱形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 一组邻边相等的矩形是正方形.
分析：要证明四边形GPHK是正方形，可以先证明其是平行四边形，再想办法证明其是菱形，再证明对角线相等，按照这三步走.先根据条件证明∠AKP=∠BPK，由此推出∠FKP=∠FPK，得出FK=FP，推出FG⊥EK，PS=SK，同理可证SG=SH.由PK⊥GH可以证明四边形GPHK是菱形，再证明PK=GH即可解决问题．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（注意以下过程可以部分调整）
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBP=∠EDK，
∵KE平分∠AED，
∴∠KED=∠KEA，
∵∠AKE=∠DEK+∠EDK，∠BPK=∠AEK+∠EBP，
∴∠AKE=∠BPK，
∴∠FKP=∠FPK，（等角的补角相等）
∴FP=FK，
∵FG平分∠PFK，
∴FG⊥PK，PS=SK，
同理可证SG=SH，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴四边形GPHK是平行四边形，
∵PK⊥GH，
∴四边形GPHK是菱形，
∵AB=AD，CB=CD，
∴弧AB=弧AD，弧BC=弧CD，
∴弧ABC=弧ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，AB=AD，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AE=AF，∠AED=∠AFB，
∵∠AEK=1/2∠AED，∠AFG=∠SFP=1/2∠AFB，
∴∠AEK=∠AFG=∠SFP，
∴△AEK≌△AFG（ASA），
∴EK=FG，AK=AG，
∴EG=FK=FP，
∵∠ESG=∠FSP=90°，∠SEG=∠SFP，
∴△ESG≌△FSP（AAS），
∴SG=SP，
∴PK=GH，
∴四边形GPHK是正方形．
（完毕）
这道题属于综合题，考查了圆的相关知识，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形证明线段相等。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。