世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解

[遇见数学创作小组]作者: 烂柯野人, 参考自 Mathologer 视频(跳转链接)

▌前言

我们都知道圆周率 是无理数,但极少有人知道怎么证明它。事实上,很多专业的数学学者也不了解具体的证明方法。究其原因,一是没必要、二是大多数证明过程都太专业且不直观。例如附二中由 伊万·尼文(Ivan Niven, 美国数学家) 给出的据称是最短的证明,需要大学数学知识才能看懂。

本文给出一个高中生也能看懂的证明方法,由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在 1761 年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开,巧妙的反复运用倒数技巧得到了 的连分数表示,然后证明了这个连分数是一个无理数。据信,这个也世界上第一个证明 是无理数的方法。此方法简洁易懂,即使从现在的观点来看,其思路也非常具有启发性。

▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)

▌准备工作

1)无理数和反证法

无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数,大多用反证法,即假设它可以表示成两个整数的比,然后推导出矛盾,以此证明假设不成立。

例如,如何证明 是无理数?可以先设 是有理数,于是有

两边同取n次幂

得到

这个等式显然不成立,因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数,得到了矛盾的结果,因此 是有理数的假设不成立。附一中有几个练习,请试试。

2)连分数

连分数(Continued fraction)也叫繁分数,是形如下图的分数:

其中 、、,、、 为实数或复数。

连分数常用来逼近无理数,这也是最早研究连分数的动机,想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用,它是数论及线性方程研究中的一个重要工具,与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。

连分数因大数学家欧拉而广为人知,欧拉证明了形如下图的、所有分子都是 、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。

实际上,上图中的无限连分数等于 ,其分母是 无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数 是无理数,并且得到了 的无限连分数形式:

从第二个 开始,其分母是 、、、、。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事,熟悉欧拉对连分数的研究和成果,他因此冒出一个好主意:将 写成连分数形式。

3)麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在 点的特殊形式。若 在 处n阶连续可导,则下式成立:

其中 表示 阶导数且 。

因为 在 处具有任意阶导数,用麦克劳林公式在 处展开 ,得到:

同样展开 得到:

▌证明过程

0)总体思路

第一步,兰伯特得到了 的连分数表示:

第二步,兰伯特证明了,当x是除0之外的有理数()时, 是无理数。所以 、 等都是无理数。

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第三步,因为 , 不是无理数,所以 不能写为分数形式,即不是有理数,从而证明 是无理数。

1)第一步,得到 的连分数表示

将 和 的展开式代入

得到

从红色分数线分子上提出一个 ,

由于

所以有

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对红分数线上的分子加上红分数线的分母再减去红分数线的分母,得到

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调整下顺序

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去括号

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计算红框内的对应项,得到

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式中,蓝底色的两部分相同,因为

所以有

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对红分数线上的分子统一提出 ,得到

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再次使用倒数技巧得到

再反复使用分子加减分母法,这次因为分母是 ,为消去红分数线上的常数 ,给分子加 倍的分母再减去 倍的分母得到

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整理得到

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如此反复计算下去,最终得到

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可以通过对比 和连分数的图形验证这一结果。下图是取连分数第一层时的图形(蓝色)与 的图形(棕色)对比,两个图形在 点重合。

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取连分数的第二层时,图形更加接近,如上图。

取越多的部分作图,就越逼近 的图形,证明这个连分数是正确的。

2)第二步,证明 为有理数时 是无理数

设 是有理数,则 可以写为 ,其中 和 均为正整数,代入得到

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化简右边连分数,给分子分母同乘 ,得到

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这个无限连分数,除了第一个分子是 ,其它的分子都是 。分母则越来越大,也就是说,从某一处向后,分母会比分子大很多。现在来证明这个无限连分数是无理数。

根据 和 的不同,可能是 或 才比 大,这里不防设 比 大 ,那么从这一点向后,所有的分母都比分子至少大 。

由 得到

那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的

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同样,如下图,从 开始,之后的所有部分也是大于 小于 的。

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如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数,那么整个连分数就是无理数。现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于 ,有 ,即 。

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所以得到:

再考虑 向后的部分,整理上面的式子得到下式

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由于 、、、 都是整数,所以 也是一个整数,令其等于 。

因为 向后的部分也是大于 小于 的,所以又得到:

所以现在有:

再考虑 向后的部分又得到:

因为这是一个无限连分数,所以反复这样做可以得到一个无限递减数列:

由于数列中所有数都是正整数,而数列的大小是无限的,无论 有多大,始终都会在有限次递减后小于 ,所以不存在这样的一个递减数列。

于是,之前从 开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到

无理数

3)第三步, 是无理数

因为

而 不是无理数,根据原命题与逆否命题具有相同的真假性(如果 ,那么应该得到一个无理数而不是 ),得到 不是有理数,所以 不是有理数。

得证。

4)一张图总结

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▌附一,练习

1)文中提及

为什么?为什么我只能推导出下面的不等式?

2) 是无理数吗?怎么证明?

3) 是无理数吗?怎么证明?

4)怎么推导出根号 等于下图中的连分数?

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5)文中推导 的连分数时,给分子加上了一个分母又减去一个分母。其中无论是分子还是分母,都是很大的无穷级数,它们应该不支持交换律和结合律,但兰伯特为什么能对分子进行去括号、交换计算顺序等操作?

▌附二,最短证明(Ivan Niven的证明)

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来源:遇见数学

编辑:Watson

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