德国疫情一直不消退，悠悠已经在家学习好几个月了...（我之前写过：德国人上个网课，讲究不是一般的多！），不过homeschool倒是给了我机会更近距离地了解她每天的学习内容以及老师的教学安排，收获不少。
德国小学每天的作业以老师打印的练习纸和练习册为主。不得不说，这些练习题实在是太有意思了，都忍不住感慨我当年的练习要有这么好玩，我肯定做得停不下来。
虽然德国小学一年级才学到20以内的加减法，看上去好像学得很慢，但从这些练习题中我看到了德国人给孩子数学启蒙的思路，了解到原来学加减法也有那么多讲究！
慢有慢的道理。今天我就带领大家看看这些练习题背后蕴藏的数学启蒙理念，相信家长们看完会对简单的计算有更深的认识，能更全面地看待孩子的运算能力。
数与数量的对应
先来看咱最熟悉的数数，这里的数数可不是“背数”，理解数字与数量的对应关系才是关键。而在大人眼里显而易见的这一点，在孩子那里却没有那么容易，需要分几步理解。
首先，数数生活中的物品，小鸡的数量与哪个小鸟的数量相同？在这里左边的图案和右边的图案都是由物体来表示的。
孩子们手里拿了哪些冰淇淋？
数数芬尼奇手里在抛多少个球？让孩子认识到不管球怎么排列，数量都不变。
然后，把物体抽象到以点之类的符号来代替，右边的实物换成了骰子的点数。
最后，才是把物体与抽象的数字建立联系，现在右边出现的是阿拉伯数字。
这些题目除了好玩、能引起孩子兴趣，其背后还有科学原理支撑。
我曾经在《别着急教孩子上火，数学启蒙理解了这些，才不会对孩子的数学能力摸瞎》里，提到美国认知心理学家Jerome Bruner认为孩子理解一个概念需要经历三个层次：操作层次 视像层次 符号层次 。
举个例子，孩子在玩积木，TA把3个搭在了一起，这个动手阶段就是操作层次；在一张图片上看到3个累积在一起的积木，这是视像层次。
最后一个符号层次就是思维开始抽象化，孩子意思到三个积木可以用3个点来代表，也可以用数字“3”来表示。
在认知的过程中，孩子的抽象思维就是这样通过操作、到视像、再到符号这样逐步建立起来。
这么解释一下，相信大家再倒回去看上面的练习，就会发现这么安排学习顺序的用意了。遵从孩子的认知发展规律，从生活中的实物开始，一步步地帮孩子开始用符号思考，建立起数字与数量的对应关系，即抽象的数学概念。
加、减法运算
通过不断地各种练习数数，让孩子充分熟悉“数量”的概念以后，然后才会开始接触算术，德国孩子一般要到小学才正式学习加减运算。
学习加减法也不仅仅是计算而已，这里面涵盖了数位数序、数与数的关联、组合与拆分、规律与推理等等许多数学思维的训练。下面我来一条一条分析。
数的关系与比较
数量是一切数学运算的基础，可是每个数不是孤立的，它们之间存在着联系。
在了解数量概念后，进入运算学习前，这中间还有很重要的一步——认识数之间的关系。这里包括大小比较，数的有序性，相邻数，整数等等。
利用具象的视觉比较，来分辨哪一组物品比较多呢？
每个数都有属于它自己的位置
利用小格子，帮助孩子熟悉数字与数字之间的关系，了解相邻数字，类似于百数板。
非常强调“相邻数字”，比如3、4、5左右相邻，3、13、23上下相邻等。
奇偶数是什么，把它们的位置在格子上一画出来就明白。
这不仅为了让孩子感受到数字的顺序，形成数序思维和数感；同时也是为后面的运算做准备，因为相邻数字是计算的重要基础，在加减法中的凑整、倍数法时都会不断用到。
让孩子在数轴上找到数字大概的位置，从而明白“顺序”的含义，也是在训练对数字大小的感知。
对数字的顺序和大小形成了数感，就能利用数轴辅助加减法的运算，也能为接下来的测量打好基础。
读取温度计上面的刻度。
形象生动的加、减法
一般4、5岁的孩子已经都有加减的意识，只不过他们这时还是通过“1个苹果和3个苹果放在一起”，“5辆小汽车，开走了一辆”这样的生活用语来思考，而是不“1+3”，“5-1”这样的数学用语。
这个时候如果你告诉TA"1+3=4"，孩子可能云里雾里的；如果你说“你已经有了1个糖果，妈妈再给你3个糖果，现在你就有4个糖果了。”效果就好的多。
德国孩子的练习册中，会有大量生动的图片，举很多生活中的例子来表达加法和减法的意义。
比如，电线杆上有4只鸟儿，又飞来了2只,（4+2=6）；晾了3条裤子和2件上衣，共有有5件衣服（3+2=5）。
芬尼奇左手拿了3个气球，右手拿了4个气球，那么它一共有几个气球？
又比如，8个蘑菇，摘走了2个（8-2=6）；6个文件夹，又拿来了2个（6+2=8）
5个小朋友，有2个小朋友在离开（5-2=3）；6个泡泡，一个泡泡破了（6-1=5）。不断的用情景图画让孩子明白加减法在生活中的运用。
在学习加减法时，使用排列整齐的小圆圈和小方块，以5/10为一个单位出现，可以帮助孩子理解整数这样的概念。
学习两位数时，让孩子先用笔勾出10来，十位数与个位数的概念孩子一看就明白了。
做减法的时候用笔划掉小圆圈（注意，倒了几个保龄球，就减去几）。
与现实生活紧密结合，用形象的例子展示，一方面符合孩子的认知，也能激起他们学习的兴趣；另一方面，帮助孩子深刻理解这些符号的含义，“原来这些符号这么神奇，它们代表的是这个意思”。
数的分解与组合
上面写到的数形对比有助于孩子理解数字具有可分割但守恒的特性，加减法其实就是对数字进行分解与组合。
在一定数量的物品中，圈出一部分，体会数量关系和加减的意义。
悠悠的老师用下面这只猫头鹰来说明数字的组合与拆分，把加减法放在一起学，反复拆分和换位，理解数字中部分与整体的关系。
利用小房子来把加法过渡到减法。让孩子意识到+和-不是孤立的，它们之间存在着联系：5+1=6，那么6-1=5。
理解在换位运算中，两个数字即使换了位置，加在一起结果也不会改变。
德国小学真的非常重视数的分解与组合，悠悠有一段时间从学校拿来的练习页就是不厌其烦地对每个数字进行组合和拆解。
比如下面这个是把屋顶的数字进行拆分，4可以拆成0+4、1+3···五种情况；
边写数字，还要同时用圆圈形象化地表示，促进孩子理解。
爱心形式的凑10练习，德国老师把加起来等于10的两个数字称为“相爱的一对”；
学习11-20的两位数时，老师又用到拆分原理，教孩子们先把10圈出来，在十位数上先写上1，剩下的就是个位数啦。
圈出来的部分代表十位数上的1，圈圈外面的圆点代表个位数，一目了然。
还有各种三角形、正方形、圆盘等工具，反复练习拆分和组合，增强数感。
三个加数的运算与两个加数的运算之间存在什么关联？借助了数轴的工具和凑10的方式来更形象地说明加数的运算。
发现运算中的规律
德国的练习册很少会像我们当年做的运算作业一样，满页随机的题没有任何规律可言，完全是为了机械地考察心算能力。
在悠悠的练习页中，我经常看见一系列有规律的算术题放在一起，让孩子从这些精心排列的题目中，自己发现规律。
比如，结果是相同数字的算术题；
其中一个加数发生变化的运算；
相同加数的加法运算；
个位数相同，十位数不相同的加法运算；红色和蓝色的小圆圈展示可谓暗藏玄机。
有图形辅助，这样的题做起来不难，但是互有关联。因为用意不是为了简单粗暴地练习孩子的计算速度和准度，而是为了让孩子自己去体会观察数学的规律，去思考数量、运算之间的联系，形成数学思维，并非死记硬背。
去年刚看到一年级的教学大纲时，我还觉得德国小学学加减法的进度好慢。
后来我慢慢明白这些都是为了让孩子形成对数的感觉，“数感”简单的说就是面对任何一个数，脑子里瞬间出现关于这个数的联想。
比如看见8，会想到8天是一个礼拜多一天，8可以分成两个4，要比10少两个，比5多了3......等等。
能产生的联想越多，说明数感越好。学数学不是为了孤零零的认识这些数字符号，背下运算口诀，而是为了融会贯通，从而可以用已知的逻辑，去解决未知的问题。
就好比从10以内的加减法，进入到20以内的加减时，即使对孩子来说很难，TA也依然可以利用之前学过的“凑10法”，来解决问题。
“7+5=？，可以把5拆成3+2，而3和7能凑10，孩子自然明白了结果=12。”
用已知解决未知，才是我们真正想要给孩子培养的思维能力，而不是快准狠的运算能力，不是么？
前面的慢和反复拆分练习都是在为形成数学思维奠定基础，基础打好了，孩子才能熟练运用这种思维去解决后面更难更复杂的问题。
孩子有TA的认知发展规律，抽象思维并不是与生俱来的，也无法直接灌输进大脑。遵循孩子的认知方式，一步步从具象过渡到抽象，利用科学合理的练习来辅助，每个孩子都能形成出色的思维能力！