1问题的提出
概念的形成是儿童思维发展水平的主要标志之一。数概念的形成是儿童早期认知发展的一个主要方面[1]，“零”概念的形成又是数概念形成中极为特殊的一个。
皮亚杰认为幼儿没有数概念，因为幼儿不能理解数字间的大小顺序关系，而且计数范围又不超过知觉广度五，幼儿的念数不过是一种机械的重复而已[2]。而Gelman认为，数概念的基础是数数，而不是皮亚杰所说的分类和排列，并认为数概念是人类进化而天生获得的一种能力[3]。来自对灵长类动物的一些研究似乎表明，象猴子、黑猩猩等能够掌握基本的数数原则，以及抽象地理解“数字”概念和“多少”概念[4]。一些跨文化的研究表明，计数是一种普遍的能力。
1962年之前，我国有过一些有关儿童数概念发展方面的研究。1978年至1979年期间，全国多家单位合作成立的数概念认知发展协作组[5]，在全国范围内先后进行了九项独立研究，获得了一批有价值的研究成果。研究认为，在推理水平上掌握数概念是从感知水平推理到表象推理，再到概念推理，使数概念的理解达到一个更高级的水平；儿童在5至6岁期间逐渐能够运用数词进行计数与运算，6至6。5岁是加减运算能力发展的转折点。
以往对幼儿数概念获得的研究，多是从对5以内或10以内数字的理解开始的，通过被试的机械复述、点数、实物加减、数的组成、口头按群加减等考察被试数概念掌握的不同内涵[6]。对于数概念正处于发展中的幼儿而言，“零”概念的形成是难以通过上述途径获得的。而且，以往也很少有“零”概念形成的研究。由于“零”无论在哲学上还是数学上都有其特殊的含义，因此，零概念的获得也就成了儿童数概念发展水平的一个重要标志[7]。本研究通过三项系统推理实验探讨了学前至小学三年级儿童对“零”概念的理解、掌握和应用。
2实验方法
2。1被试5至9岁被试共计46人，其中，男25人，女21人。被试的基本构成为：学前共计12人，其中，5岁男6人，女6人；小学一年级共计13人，其中，6岁男5人，女6人，7岁男2人；二年级共计9人，其中，7岁男2人，女2人，8岁男3人，女2人；三年级共计12人，其中，8岁男4人，女1人，9岁男3人，女4人。均为智力正常，视力正常，身体健康。实足年龄，波动范围上下3个月。
2。2实验设计本研究分为三项实验。实验一通过图片之间的传递推理关系测验儿童对“零”概念含义的理解；实验二通过一系列图片之间的加减推理关系，测验儿童对“零”的使用；实验三通过一系列图片之间的乘除推理关系，测验儿童对“零”的使用。
2。3实验一通过传递性推理关系测验被试是否理解“零”的含义。
被试：有效被试46人。学前12名（男女各6名）；小学一年级13名（男7，女6）；小学二年级9名（男5，女4）；小学三年级12名（男7，女5）。
材料：该实验共包括19组图片，每组有4张图片。其中，3组图片供练习之用，以保证被试确实理解了每组图片之间的传递关系。6组图片作为干扰项目，穿插于正式测验之中，以免被试作出“定势”反应。正式测验图片10张，分成三种水平，分别是单一图片递减、双图片同时递减和实物图片递减。
步骤：首先对被试进行训练，以使被试理解测验意图。方法为每3张图片为一组，彼此之间形成递增或递减关系，在连续呈现第一、第二、和第三张图片后，让被试推断即将出现的第四张图片应该是什么样子。然后，呈现供选择的四张图片，让被试从中选出正确的图片。若不理解，可重复前述过程以便被试做出正确选择。在被试理解了测验意图后，进行正式测验。正式测验的每组图片形成递减关系，供选择的第四张图片正确答案应为“零”。
测验环境：所有刺激均在自然光线下呈现于586PC机屏幕中央，通过PowerPoint软件呈现。每名被试均单独进行测验。被试坐在距离屏幕中心60厘米处，坐高自动调节到舒适水平。一名主试坐在屏幕一侧负责操纵刺激呈现，并提出实验要求。一名助手在屏幕另一侧稍远处对被试的反应加以详细记录。每个刺激的呈现没有严格的时间限制，以被试能做出适当反应为宜。
记分标准：选择正确记1分，经提示回答正确记0。5分，错误记0分。
2。4实验二通过推理关系测验被试是否能够正确使用“零”进行加减运算。
被试：有效被试34人。学前班儿童12名（男女各6名）；小学一年级13名，男7名，女6名；小学二年级9名，男5名，女4名。
材料：共包括21组图片，每组包括4张图片。其中，7组图片用做练习，2组图片作为干扰项目。正式测验图片12组。分两种水平，前一种是加法水平，后一种是减法水平。
步骤：首先对被试进行训练，以使被试理解测验意图。方法为每2张图片为一组，彼此之间形成递增或递减关系，在连续呈现第一、第二张图片后，让被试推断即将出现的第三张图片应该是什么样子。然而，呈现供选择的四张图片，让被试从中选出正确的图片。若不理解，可重复前述过程以便被试做出正确选择。在被试理解了测验意图后，进行正式测验。正式测验的每组图片形成递减关系，供选择的第三张图片正确答案应为“零”。
2。5实验三通过推理关系测验被试能否利用“零”进行乘除运算。
被试：有效被试21人。二年12名（男7，女6）；三年9年（男5，女4）。
材料：本实验共包括20组图片，每组包括4张图片。其中，11组图片做练习之用，正式测验图片9组。分两种水平，前一种是乘法水平，后一种是除法水平。
步骤：首先对被试进行训练，以使被试理解测验意图。方法为每2张图片为一组，彼此之间形成乘或除关系，在连续呈现第一、第二张图片后，让被试推断即将出现的第三张图片应该是什么样子。然后，呈现供选择的四张图片，让被试从中选出正确的图片。若不理解，可重复前述过程以便被试做出正确选择。在被试理解了测验意图后，进行正式测验。正式测验的每组图片形成递推关系，供选择的第三张图片正确答案应为“零”。
测验环境：同实验一
记分标准：采用2，1，0三级记分，即自己正确回答2分，经提示正确回答，1分，经提示回答错误或不会回答，0分。
3结果
表1至表4分别列出了各项实验的结果。
表1学前至小学三年级儿童“零”概念理解的测验成绩（实验一）
附图{图}
表2学前至小学三年级儿童利用“零”进行加减运算测验的成绩（实验二）
附图{图}
表3小学二、三年级岁儿童利用“零”进行乘除运算测验的成绩（实验三）
附图{图}
注：水平一、二和总体水平的p值分别为0。098、0。058、0。060。
4分析与讨论
本研究将从教育水平和年龄发展两个方面对实验结果分别加以讨论。
实验一分三种水平呈现了10组图片，每组由3张连续递减的图片组成，第一、二种水平分别由单一类型和两种类型抽象图片构成，第三种水平由实物图片构成。结果表明，学前至小学三年级被试在三种水平上对“零”概念的掌握呈逐渐上升趋势，且差异检验均达显着性水平。由于被试受教育的年龄略有差异，使5至9岁各年龄组被试中7、9岁组被试过少，分别为4和7人，但若以年龄为X轴，仍能观察到测验成绩随年龄增长呈上升趋势，但7岁时显示出明显的转折，8岁略有下降后呈平稳发展趋势。
实验二分两种水平12组图片分别测试了儿童使用“零”进行加减运算的能力。结果表明，随着年级的升高，该能力也逐渐发展，并迅速达到较高的水平，且差异检验均达显着性水平。若不考虑9岁年龄组仅有3名被试（经初步预测发现，9岁孩子在该测验上产生“天花板效应”，故未继续测试），这种加减运算能力随年龄增长也呈现出与实验一相似的变化趋势。实验三也分两种水平9组图片对小学二、三年级被试进行了使用“零”进行乘除运算的能力的测验。之所以没有提供小学二年级以前的数据，是因为发现这一任务对他们显得太困难了。结果表明，儿童运用“零”进行乘除运算的能力也呈上升趋势，差异检验均接近显着水平，即使排除协变量年龄的影响，各年级的成绩之间依然达显着性水平。从年龄发展看，在7至9岁的上升期内，8岁时出现了戏剧性的急剧下降，但差异检验并未达显着性水平。从被试构成看，7、8、9岁的被试分别为4、10和7人，但是，在8岁组的10个人中，分别各有5人在小学二、三年级接受教育，在剔除协变量教育程度的影响后，发现在总的水平上不同年龄组之间的差异达显着性水平(p=0。021)，说明教育对于乘除运算能力的掌握具有积极的促进作用，而且，在除法能力的运算方面也达显着水平(0。043)，乘法运算能力之间不存在差异(p=0。105)，说明使用“零”概念进行除法运算更需要教育的参与。
对所有三项实验中被试性别差异的检验显示，“零”概念的掌握和运算均不存在性别差异（所有的p＞0。05）。这一结论与刘范等对其他数概念形成的研究结论是一致的[8]。但需要补充的是，通过对被试测验期间的反应记录和个别访谈发现，儿童对“零”概念的掌握之间存在明显的个别差异，而且，教育对于“零”概念的获得具有明显的促进作用。例如，有一5岁女孩，不但能准确地解释什么是“零”，而且，还能说出零之下还有负数，访谈发现，其母亲很早就对她进行数学方面的训练。
5结论
综合三项实验研究结果，结合以往研究的结论[9-11]，本研究认为，儿童“零”概念的掌握是儿童数概念形成中较高级水平的标志之一。“零”概念的获得要晚于其他数概念，7岁左右（相当于小学二年级）可能是儿童“零”概念获得的一个转折点。儿童对“零”概念内涵的掌握是逐步深入的，教育对于“零”概念精确含义的掌握是必不可少的，尤其是在除法运算中对“零”概念含义的理解。